实分析（英文版·原书第4版）
| 作者 |
| [美]H. L. 罗伊登（H. L. Royden）P. M. 菲茨帕特里克（P. M. Fitzpatrick） |
| 丛书名 |
| 华章数学原版精品系列 |
| 出版社 |
| 机械工业出版社 |
| ISBN |
| 9787111646655 |
| 简要 |
| 简介 |
| 内容简介书籍数学书籍 本书是实分析课程的优秀教材，被国外众多著名大学（如斯坦福大学、哈佛大学等）采用。全书分为三部分：第一部分为实变函数论，介绍一元实变函数的勒贝格测度和勒贝格积分；第二部分为抽象空间，介绍拓扑空间、度量空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间；第三部分为一般测度与积分理论，介绍一般度量空间上的积分，以及拓扑、代数和动态结构的一般理论。书中不仅包含数学定理和定义，而且还提出了富有启发性的问题，以便读者更深入地理解书中内容。 |
| 目录 |
| 第一部分 一元实变量函数的Lebesgue积分 第0章 集合、映射与关系的预备知识 3 0.1 集合的并与交 3 0.2 集合间的映射 4 0.3 等价关系、选择公理以及Zorn引理 5 第1章 实数集：集合、序列与函数 7 1.1 域、正性以及完备性公理 7 1.2 自然数与有理数 11 1.3 可数集与不可数集 13 1.4 实数的开集、闭集和Borel集 16 1.5 实数序列 20 1.6 实变量的连续实值函数 25 第2章 Lebesgue测度 29 2.1 引言 29 2.2 Lebesgue外测度 31 2.3 Lebesgue可测集的代数 34 2.4 Lebesgue可测集的外逼近和内逼近 40 2.5 可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理 43 2.6 不可测集 47 2.7 Cantor集和Cantor-Lebesgue函数 49 第3章 Lebesgue可测函数 54 3.1 和、积与复合 54 3.2 序列的逐点极限与简单逼近 60 3.3 Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理 64 第4章 Lebesgue积分 68 4.1 Riemann积分 68 4.2 有限测度集上的有界可测函数的 Lebesgue积分 71 4.3 非负可测函数的Lebesgue积分 79 4.4 一般的Lebesgue积分 85 4.5 积分的可数可加性与连续性 90 4.6 一致可积性：Vitali收敛定理 92 第5章 Lebesgue积分：深入课题 97 5.1 一致可积性和紧性：一般的Vitali收敛定理 97 5.2 依测度收敛 99 5.3 Riemann可积与Lebesgue可积的刻画 102 第6章 微分与积分 107 6.1 单调函数的连续性 108 6.2 单调函数的可微性：Lebesgue定理 109 6.3 有界变差函数：Jordan定理 116 6.4 绝对连续函数 119 6.5 导数的积分：微分不定积分 124 6.6 凸函数 130 第7章 Lp空间：完备性与逼近 135 7.1 赋范线性空间 135 7.2 Young、H鰈der与Minkowski不等式 139 7.3 Lp是完备的：Riesz-Fischer定理 144 7.4 逼近与可分性 150 第8章 Lp空间：对偶与弱收敛 155 8.1 关于Lp（1≤p＜∞）的对偶的Riesz表示定理 155 8.2 Lp中的弱序列收敛 162 8.3 弱序列紧性 171 8.4 凸泛函的最小化 174 第二部分 抽象空间：度量空间、 拓扑空间、Banach空间 和Hilbert空间 第9章 度量空间：一般性质 183 9.1 度量空间的例子 183 9.2 开集、闭集以及收敛序列 187 9.3 度量空间之间的连续映射 190 9.4 完备度量空间 193 9.5 紧度量空间 197 9.6 可分度量空间 204 第10章 度量空间：三个基本定理 206 10.1 Arzelà-Ascoli定理 206 10.2 Baire范畴定理 211 10.3 Banach压缩原理 215 第11章 拓扑空间：一般性质 222 11.1 开集、闭集、基和子基 222 11.2 分离性质 227 11.3 可数性与可分性 228 11.4 拓扑空间之间的连续映射 230 11.5 紧拓扑空间 233 11.6 连通的拓扑空间 237 第12章 拓扑空间：三个基本定理 239 12.1 Urysohn引理和Tietze延拓定理 239 12.2 Tychonoff乘积定理 244 12.3 Stone-Weierstrass定理 247 第13章 Banach空间之间的连续线性算子 253 13.1 赋范线性空间 253 13.2 线性算子 256 13.3 紧性丧失：无穷维赋范线性空间 259 13.4 开映射与闭图像定理 263 13.5 一致有界原理 268 第14章 赋范线性空间的对偶 271 14.1 线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑 271 14.2 Hahn-Banach定理 277 14.3 自反Banach空间与弱序列 收敛性 282 14.4 局部凸拓扑向量空间 286 14.5 凸集的分离与Mazur定理 290 14.6 Krein-Milman定理 295 第15章 重新得到紧性：弱拓扑 298 15.1 Helly定理的Alaoglu推广 298 15.2 自反性与弱紧性：Kakutani定理 300 15.3 紧性与弱序列紧性：Eberlein-mulian定理 302 15.4 弱拓扑的度量化 305 第16章 Hilbert空间上的连续线性算子 308 16.1 内积和正交性 309 16.2 对偶空间和弱序列收敛 313 16.3 Bessel不等式与规范正交基 316 16.4 线性算子的伴随与对称性 319 16.5 紧算子 324 16.6 Hilbert-Schmidt定理 326 16.7 Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻画 329 第三部分 测度与积分：一般理论 第17章 一般测度空间：性质与构造 337 17.1 测度与可测集 337 17.2 带号测度：Hahn与Jordan分解 342 17.3 外测度诱导的Carathéodory测度 346 17.4 外测度的构造 349 17.5 将预测度延拓为测度：Carathéodory-Hahn定理 352 第18章 一般测度空间上的积分 359 18.1 可测函数 359 18.2 非负可测函数的积分 365 18.3 一般可测函数的积分 372 18.4 Radon-Nikodym定理 381 18.5 Nikodym度量空间：Vitali-Hahn-Saks定理 388 第19章 一般的Lp空间：完备性、对偶性和弱收敛性 394 19.1 Lp(X, )（1≤p≤∞）的完备性 394 19.2 关于Lp(X, )（1≤p19.3 关于L∞(X, )的对偶的Kantorovitch表示定理 404 19.4 Lp(X, )（1＜p＜∞）的弱序列紧性 407 19.5 L1(X, )的弱序列紧性：Dunford-Pettis定理 409 第20章 特定测度的构造 414 20.1 乘积测度：Fubini与Tonelli定理 414 20.2 欧氏空间Rn上的Lebesgue测度 424 20.3 累积分布函数与Borel测度 437 20.4 度量空间上的Carathéodory外测度与Hausdorff测度 441 第21章 测度与拓扑 446 21.1 局部紧拓扑空间 447 21.2 集合分离与函数延拓 452 21.3 Radon测度的构造 454 21.4 Cc(X)上的正线性泛函的表示：Riesz-Markov定理 457 21.5 C（X）的对偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理 462 21.6 Baire测度的正则性 470 第22章 不变测度 477 22.1 拓扑群：一般线性群 477 22.2 Kakutani不动点定理 480 22.3 紧群上的不变Borel测度：von Neumann定理 485 22.4 测度保持变换与遍历性：Bogoliubov-Krilov定理 488 参考文献 495 Contents I Lebesgue Integration for Functions of a Single Real Variable 1 0 Preliminaries on Sets, Mappings, and Relations 3 UnionsandIntersectionsofSets ............................. 3 Mappings Between Sets............................. 4 Equivalence Relations, the Axiom of Choice, and Zorn’s Lemma . . . . . . . . . . 5 1 The Real Numbers: Sets, Sequences, and Functions 7 1.1 The Field, Positivity, and Completeness Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 TheNaturalandRationalNumbers ........................ 11 1.3 CountableandUncountableSets ......................... 13 1.4 Open Sets, Closed Sets, and Borel Sets of Real Numbers . . . . . . . . . . . . 16 1.5 SequencesofRealNumbers ............................ 20 1.6 Continuous Real-Valued Functions of a Real Variable . . . . . . . . . . . . . 25 2 Lebesgue Measure 29 2.1 Introduction ..................................... 29 2.2 LebesgueOuterMeasure.............................. 31 2.3 The σ-AlgebraofLebesgueMeasurableSets .. .. .. .. .. ... .. .. . 34 2.4 Outer and Inner Approximation of Lebesgue Measurable Sets . . . . . . . . 40 2.5 Countable Additivity, Continuity, and the Borel-Cantelli Lemma . . . . . . . 43 2.6 NonmeasurableSets................................. 47 2.7 The Cantor Set and the Cantor-Lebesgue Function . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Lebesgue Measurable Functions 54 3.1 Sums,Products,andCompositions ........................ 54 3.2 Sequential Pointwise Limits and Simple Approximation . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Littlewood’s Three Principles, Egoroff’s Theorem, and Lusin’s Theorem . . . 64 4 Lebesgue Integration 68 4.1 TheRiemannIntegral................................ 68 4.2 The Lebesgue Integral of a Bounded Measurable Function over a Set of FiniteMeasure.................................... 71 4.3 The Lebesgue Integral of a Measurable Nonnegative Function . . . . . . . . 79 4.4 TheGeneralLebesgueIntegral .......................... 85 4.5 Countable Additivity and Continuity of Integration . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.6 Uniform Integrability: The Vitali Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . 92 5 Lebesgue Integration: Further Topics 97 5.1 Uniform Integrability and Tightness: A General Vitali Convergence Theorem 97 5.2 ConvergenceinMeasure .............................. 99 5.3 Characterizations of Riemann and Lebesgue Integrability . . . . . . . . . . . 102 6 Differentiation and Integration 107 6.1 ContinuityofMonotoneFunctions ........................ 108 6.2 Differentiability of Monotone Functions: Lebesgue’s Theorem . . . . . . . . 109 6.3 Functions of Bounded Variation: Jordan’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . 116 6.4 AbsolutelyContinuousFunctions ......................... 119 6.5 Integrating Derivatives: Differentiating Inde.nite Integrals . . . . . . . . . . 124 6.6 ConvexFunctions .................................. 130 7The Lp Spaces: Completeness and Approximation 135 7.1 NormedLinearSpaces ............................... 135 7.2 The Inequalities of Young, H older, and Minkowski . . . . . . 139 7.3 Lp IsComplete:TheRiesz-FischerTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.4 ApproximationandSeparability.......................... 150 8The Lp Spaces: Duality and Weak Convergence 155 8.1 The Riesz Representation for the Dual of Lp, 1 ≤ p 8.2 Weak Sequential Convergence in Lp ....................... 162 8.3 WeakSequentialCompactness........................... 171 8.4 TheMinimizationofConvexFunctionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 II Abstract Spaces: Metric, Topological, Banach, and Hilbert Spaces 181 9 Metric Spaces: General Properties 183 9.1 ExamplesofMetricSpaces ............................. 183 9.2 Open Sets, Closed Sets, and Convergent Sequences . . . . . . . . . . . . . . . 187 9.3 ContinuousMappingsBetweenMetricSpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9.4 CompleteMetricSpaces .............................. 193 9.5 CompactMetricSpaces ............................... 197 9.6 SeparableMetricSpaces .............................. 204 10 Metric Spaces: Three Fundamental Theorems 206 10.1TheArzela-AscoliTheorem `............................ 206 10.2TheBaireCategoryTheorem ........................... 211 10.3TheBanachContractionPrinciple......................... 215 11 Topological Spaces: General Properties 222 11.1 OpenSets,ClosedSets,Bases,andSubbases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 11.2TheSeparationProperties ............................. 227 11.3CountabilityandSeparability ........................... 228 11.4 Continuous Mappings Between Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 230 Contents i. 11.5CompactTopologicalSpaces............................ 233 11.6ConnectedTopologicalSpaces........................... 237 12 Topological Spaces: Three Fundamental Theorems 239 12.1 Urysohn’s Lemma and the Tietze Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . 239 12.2TheTychonoffProductTheorem ......................... 244 12.3TheStone-WeierstrassTheorem.......................... 247 13 Continuous Linear Operators Between Banach Spaces 253 13.1NormedLinearSpaces ............................... 253 13.2LinearOperators .................................. 256 13.3 Compactness Lost: In.nite Dimensional Normed Linear Spaces . . . . . . . . 259 13.4 TheOpenMappingandClosedGraphTheorems .. .. .. .. ... .. .. . 263 13.5TheUniformBoundednessPrinciple ....................... 268 14 Duality for Normed Linear Spaces 271 14.1 Linear Functionals, Bounded Linear Functionals, and Weak Topologies . . . 271 14.2TheHahn-BanachTheorem ............................ 277 14.3 Re.exive Banach Spaces and Weak Sequential Convergence . . . . . . . . . 282 14.4 LocallyConvexTopologicalVectorSpaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 14.5 The Separation of Convex Sets and Mazur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . 290 14.6TheKrein-MilmanTheorem. ........................... 295 15 Compactness Regained: The Weak Topology 298 15.1 Alaoglu’sExtensionofHelley’sTheorem .. .. .. .. .. .. ... .. .. . 298 15.2 Re.exivity and Weak Compactness: Kakutani’s Theorem . . . . . . . . . . . 300 15.3 Compactness and Weak Sequential Compactness: The Eberlein-ˇSmulian Theorem ........................... 302 15.4MetrizabilityofWeakTopologies ......................... 305 16 Continuous Linear Operators on Hilbert Spaces 308 16.1TheInnerProductandOrthogonality....................... 309 16.2 The Dual Space and Weak Sequential Convergence . . . . . . . . . . . . . . 313 16.3 Bessel’sInequalityandOrthonormalBases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 16.4 AdjointsandSymmetryforLinearOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 16.5CompactOperators ................................. 324 16.6TheHilbert-SchmidtTheorem ........................... 326 16.7 The Riesz-Schauder Theorem: Characterization of Fredholm Operators . . . 329 III Measure and Integration: General Theory 335 17 General Measure Spaces: Their Properties and Construction 337 17.1MeasuresandMeasurableSets........................... 337 17.2 Signed Measures: The Hahn and Jordan Decompositions . . . . . . . . . . . 342 17.3 The Carath′346 eodory Measure Induced by an Outer Measure . . . . . . . . . . . 17.4TheConstructionofOuterMeasures ....................... 349 17.5 The Carath′eodory-Hahn Theorem: The Extension of a Premeasure to a Measure ....................................... 352 18 Integration Over General Measure Spaces 359 18.1MeasurableFunctions................................ 359 18.2 Integration of Nonnegative Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . 365 18.3 Integration of General Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 18.4TheRadon-NikodymTheorem .......................... 381 18.5 The Nikodym Metric Space: The Vitali–Hahn–Saks Theorem . . . . . . . . . 388 19 General LP Spaces: Completeness, Duality, and Weak Convergence 394 19.1 The Completeness of Lp.X, μ., 1 ≤p ≤∞ ................... 394 19.2 The Riesz Representation Theorem for the Dual of Lp.X, μ., 1 ≤p ≤∞ . . 399 19.3 The Kantorovitch Representation Theorem for the Dual of L∞.X, μ. .... 404 19.4 Weak Sequential Compactness in Lp.X, μ., 1 19.5 Weak Sequential Compactness in L1.X, μ. : The Dunford-Pettis Theorem . .. 409 20 The Construction of Particular Measures 414 20.1 Product Measures: The Theorems of Fubini and Tonelli . . . . . . . . . . . . 414 20.2 Lebesgue Measure on Euclidean Space Rn .................... 424 20.3 Cumulative Distribution Functions and Borel Measures on R ......... 437 20.4 Caratheodory Outer Measures and Hausdor ′ff Measures on a Metric Space 441 21 Measure and Topology 446 21.1LocallyCompactTopologicalSpaces ....................... 447 21.2 SeparatingSetsandExtendingFunctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 21.3TheConstructionofRadonMeasures....................... 454 21.4 The Representation of Positive Linear Functionals on Cc.X.:The Riesz-MarkovTheorem .................... 457 21.5 The Riesz Representation Theorem for the Dual of C.X. ........... 462 21.6 RegularityPropertiesofBaireMeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 22 Invariant Measures 477 22.1 Topological Groups: The General Linear Group . . . . . . . . . . . . . . . . 477 22.2Kakutani’sFixedPointTheorem ......................... 480 22.3 Invariant Borel Measures on Compact Groups: von Neumann’s Theorem . . 485 22.4 Measure Preserving Transformations and Ergodicity: The Bogoliubov-Krilov Theorem .............. 488 Bibliography 495 |
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